فکر میکنید که آب و
هوا این روزها خیلی سرد شده؟ تصور میکنید که طوفان «سندی» طوفان خیلی
مخربی بوده است؟ این شرایط آب و هوایی و این طوفانها در مقایسه با چیزی که
در برخی از سیارات منظومه شمسی اتفاق میافتند، به مانند آب و هوایی خوش و
نسیمی ملایم هستند.
با هم تعدادی از جالبترین این پدیدهها را مرور میکنیم:
این پیج ناسای تو فیسبوک ، که هم وطنامون کامنتای خنده داری و واسه امروز به ثبت رسوندن.
اینا نمونه ای از این کامنتاس .
be roooh eteghad dari nasa ???????
شوما اون ناسا را نیشان من بده...
ناسا پاره ای! اگه باور نمی کنی برو از عمه پپسی بپرس، اون میدونه.
آقای ناسا یلدا مبارک
ناسا ریدی آبم قطه
دوستان بفرمایید چیپس و ماااااااااااااااااااااااست
ناسا پپسی یادته یه کاری میکنیم پیج و ببندی
ناسا کامنتای ما رو پاک می کنی بی ادب ؟؟؟؟ !!!!!! شعورم خوب چیزیه ...
ببین ناسا دوتا راه بیشتر نداری ؛ یا دنیا یا عمت!
ناسا به یه مترجم نیازمنده
اونای که رفتن بهشت کسی آب جوش خواست ما هستیم
پرسپولیس سوراخه
استقلال سرور پرسپولیسه
فرهاد مجیدی 7 مقدس( :|)
ناسا بیا یک قری بده حوصلمون سر رفت
این عده ای که میان میگن ناسا " آی ام ساری.. وی آر نات فلان... " اینا همونا هستن که وقتی معلم سر کلاس میگفت کی بود صدا در آورد درجا آدمو میفروختن.. خیلی هم کارمون یکه یکه.. هچ بشر هم ربطی نداره !
شنیده بودیم وارد ناسا که میشی میبینی توش ایرانی زیاده اما نه دیگه اینجوری! مخلص آقای ناسا هستیم!
ناسا ما خواستار عمه ات هستیم...با تشکر
باقیش و خودتون برید ببینید
شما یادتون نمیاد بچه که بودیم هر بار میخاستیم قرآنو با صوت بخونیم فقط اعوذ بالله و بسم الله شو شبیه عبد الباسط میگفتیم. باقیش رو مثه شماعی زاده میخوندیم! یکی از فانتزیام اینه که بتونم مزه قهوه ترک رو از فرانسه تشخیص بدم ... لامصب خعلی با کلاسه ولی فعلا فقط فرق شیر کاکائو با شیر رو میدونم اولین ضربه ی روحی زندگیمو زمانی خوردم که . . . . . یه گردو رو شیکوندم خوردم دیدم ترشه ، نگو لیمو امانی بوده آخیششش, فصل دو نفره هم تموم شد... . . . . . . . . . . دیگه دور , دور ماست غروبا تنهایی بریم خیابون ،"هـــا" کنیم... امتحان داشتیم رفتیم سالن امتحانات همه کنار هم نشسته بودیم استاد گفت : بچه ها یکی درمیون میشینین یا خودم یکی در میون بکنمتون!! یهو کل سالن منفجر شد
در داستان های علمی تخیلی تاب خوردن فضا - زمان یک موضوع پیش پا افتاده است و از آن برای سفر سریع به کهکشان های دور استفاده می شود . اینکه سفر در زمان اغلب داستان های علمی تخیلی امروز واقعیت هستند و این بخت و اقبال فضا - زمان است .
به عقیده من فضا می تواند خمیده شود یا اینکه تاب بردارد . برای بیش از دو هزار سال اصل های هندسه ی اقلیدسی بدیهی بودند . حتی امروزه شما می تواند قدرت آن را برای آموزش در مدارس مشاهده کنید . از نتایج مهم و اساسی این هندسه این است که مجموع زوایای داخلی مثلث را ١٨٠ درجه در نظر می گیرد . گرچه امروز مردم به این موضوع پی برده اند که قدم های دیگر نیز در علم هندسه ممکن است .
برای مثال در سطح زمین نزدیکترین چیز به یک خط صاف چیزی است که آن دایره بزرگ می خوانند . بین دو نقطه کوتاهترین مسیر وجود دارد . بنابراین این یک اصل است و آن جریان استفاده از خط است .
حال به مثلث سطح زین که ستوا را می سازد . خط صفر درجه در طول جغرافیایی در لندن و طول جغرافیایی در شرق که ٩٠ درجه است و از بنگلادش می گذرد . دو خط طول جغرافیایی در استوا در حالی که زاویه قائم است با هم مواجه می شوند . این دو طول جغرافیایی همچنین در قطب شمال با هم ملاقات دارند در حالی که زاویه ٩٠ درجه است . بنابراین مثلثی با سه زاویه قائم داریم که مجموع زوایای داخلی آن ٢٧٠ درجه است و در این حالت مجموع زوایای از ١٨٠ درجه بیشتر است . این مثلث که در هندسه اقلیدس وجود دارد در صفحه صاف صدق می کند .
یک خواسته برای مثلث ها وجود دارد که مجموع زوایای آن را کمتر از ١٨٠ درجه جلوه می دهد .
سطح زمین دارای دو بعد فضایی می باشد که شما می توانید در سطح زمین در دوبعد مذکور به صورت قائم به طرف یکدیگر حرکت کنید . شما حتی این امکان را دارید که در چهار جهت اصلی یعنی شمال ، جنوب ، شرق و غرب حرکت کنید البته بعد سومی هم در جهت قائم بر دو بعد وجود دارد که آن هم همان بالا و پائین است . یعنی در سطح زمین سه بعد فضایی وجود دارد . سومین بعد فضایی تخت است . یعنی از هندسه اقلیدسی تبعیت می کند در مثلث آن مجموع زوایا ١٨٠درجه است . هرچند هر شخص می تواند حرکت در زمین دو بعدی را تصور کند . اما نمی تواند حرکت در سومین بعد فضایی را تجربه کند یعنی بعد بالا یا پائین . کسانی که هندسه اقلیدسی پایبند بودند تمایل نداشتند ، برای زندگی در سطح زمین از بعد سوم اطلاعی حاصل کنند . فضا نیز برای اینکه خمیده باشد تمایل دارد تا هندسه غیر اقلیدسی باشد . آنها تمایل داشتند زندگی دشوار باشد و در این صورت فضا باید دو بعدی می بود .
بنابراین سه بعد برای حد اقل زندگی مناسب بود . اما فقط افراد معدودی می توانستند فضای سطح زمین را برای زندگی دو بعدی در نظر بگیرند . برای افراد قابل تصور بود که در محیط زندگی شان سه بعد فضایی وجود دارند . اما در سطح کرات بعد دیگری نیز بود که قابل روئت نبود . اگر سطح کره بزرگ باشد فضای نزدیک آن تخت است و قوانین هندسه اقلیدسی در این شرایط بسیار خوب هستند ، البته در فاصله های کم . اما ما اخطار کرده ایم که هندسه اقلیدسی در مسافت های زیاد ناگهان از عرصه سقوط کرد .
برای تصویر این موضوع یک تیم از نقاش ها را تصور کنید که رنگ هایی را به سطح یک توپ بزرگ اضافه می کنند و به ضخامت لایه های رنگ افزوده می شود و مساحت سطح نیز تمایل دارد افزایش یابد و به سمت بالا رود ، اگر سطح توپ مسطح بود فضا سه بعدی می بود و هر کس می توانست در روی رنگهای نامحدود اضافه شده حرکت کند و توپ خواسته اش این بود که بزرگ و بزرگتر شود . هرچند اگر سه بعد فضا واقعی بودند در سطح دیگر کره ها بعدهای دیگری بود . همچنین حجم توپ تمایل داشت افزایش یابد اما متناهی باشد . هچنین شخصی که لایه های رنگ را افزوده ؛ و عاقبت توپ می خواهد نصف فضایش پر شود .
نقاش ها نیز تمایل دارند منطقه ای را جستجو کنند که کوچک باشد و هرگز کوچک نشود و در این حالت تقریبا" تمام فضای توپ به وسیله لایه های رنگ اشغال شده است . سپس آنها می دانند فضای زندگی شان خمیده است نه تخت .
این مثال برای کسانی است که نمی توانند اصل اول هندسه جهانی را استنباط کنند . در عوض هر کس باید اندازه ی محیطی را که در آن زندگی می کند به وسیله آزمایش های هندسی در می یابد .
هرچند یک راه برای خمیدگی فضا را جرج فردریک ریمان آلمانی در سال ١٨۵٤ شرح داد و هندسه را توضیح داد و باقیمانده از قسمتی از ریاضیات در ٦٠ سال بود . هندسه او به طور مطلق می توانست خمیدگی فضا را شرح دهد . ولی به نظر می آمد که نتواند علت فیزیک فضا را در رابطه با خمیدگی آن توضیح دهد کاربرد کار او در سال ١٩١۵ توسط اینشتن مشخص شد زمانی که او تئوری نسبیت عام را مطرح ساخت .
ادامه مطلب ...
در این مقاله ،اعداد کاتالان را معرفی کرده و چند مساله که جواب آن ها منجر به این اعداد می شوند را مورد بررسی قرار می دهیم...
شاید در ریاضیات گسسته با مسأله ی زیر برخورد کرده باشید:
● مسأله: یک صفحه ی شطرنجی n×n در نظر بگیرید؛ میخواهیم با حرکت روی خطوط صفحه ی شطرنجی، از نقطه ی A در گوشه ی سمت چپ پائین صفحه، شروع کرده و به نقطه ی B در گوشه ی سمت راست بالای صفحه برسیم. شرط کار این است که فقط میتوانیم به سمتهای راست و بالا حرکت کنیم و هرگز نباید به بالای قطر AB برویم. به چند طریق میتوان از A به B رسید؟
طرح این مسأله، انگیزهای برای معرّفی مفاهیم زیر میباشد.
● تعریف: برای ،n امین عدد کاتالان(ریاضی دان بلژیکی) عبارت است از: .
▪ تعریف: همانطور که میدانیم هرکلمه از تعدادی حرف تشکیل شده است. اگر حرفهای تشکیلدهنده ی کلمات را x و y بگیریم، یک کلمهی Dyck به طول عبارت است از کلمهای که از n تا x و n تا y تشکیل شده است و در هیچ قطعهی آغازی کلمه، تعداد yها بیشتر از تعداد xها نمیباشد.
▪ مثلاً: کلمهی xyyx یک کلمهی Dyck نمیباشد چون در قطعهی آغازی xyy تعداد yها از تعداد xها بیشتر است. امّا xyxyxy یک کلمهی Dyck است.
▪ قرارداد: از این به بعد کلمهی Dyck را با DW و کلمهای که خاصیّت Dyck ندارد را با NDW نشان میدهیم.
● مسأله: چند DW به طول میتوان نوشت؟
▪ حلّ: تعداد کلّ کلماتی به طول که میتوان با n تا x و n تا y نوشت برابر است با .[چرا؟].از طرفی اگر یک NDW دلخواه در نظر بگیریم؛ پس یک قطعهی آغازی از این کلمه وجود دارد که در آن تعداد yها بیشتر از تعداد xها است. اگر اوّلین قطعهی آغازی که این شرط را دارد در نظر بگیریم و تمامی xهایی که پس از این قطعه ظاهر میشوند را با y و تمامی yها را [در صورت وجود] با x عوض کنیم پس کلمهای با ۱-n تا x و ۱+n تا y خواهیم داشت [چرا؟].
از طرفی اگر کلمهای دلخواه به طول متشکل از ۱-n تا x و ۱+n تا y داشته باشیم ،اولین قطعه ی آغازی این کلمه که تعداد y ها یکی بیش تر از تعداد x هاست در نظر بگیرید و تمامی y هایی که بعد از این قطعه ظاهر می شوند را با xو تمامی x ها را [در صورت وجود] با y عوض کنید. کلمهی حاصل یک NDW است [چرا؟] .
در واقع این روش یک تناظر یک به یک بین کلماتی به طول شامل ۱-n تا x و ۱+n تا y و NDWهای به طول برقرار میکند. چون به تعداد کلمه ی به طول شامل ۱-n تا x و ۱+n تا y داریم ، پس تعداد NDW های به طول برابر است با . امّا تعداد DWها برابر است با اختلاف تعداد کلّ کلمات و تعداد NDWها، پس :
▪ تعداد DWهای به طول
اکنون به مسألهای که در آغاز مقاله مطرح کردیم، برمیگردیم.
اگر حرکت به سمت راست را با x و حرکت به سمت بالا را با y نشان دهیم پس تعداد راههای رسیدن از A به B [با توجه به شرط مسأله]برابر است با تعداد DWهای به طول که همانا میباشد.
مسألهای دیگر: به چند طریق میتوان با n جفت پرانتز ( )؛ عبارتهای با معنی نوشت؟
مثلاً برای ۳و ۲و ۱=n داریم:
ـ ۱=n ( ) .
ـ ۲=n (( )) و ( ) ( ) .
ـ ۳=n (( )) ( ) و ( ) (( )) و ( ) ( ) ( ) و ((( ))) و ( ( ) ( ) ) .
اگر به جای )، x و به جای (، y قرار دهیم آنگاه تعداد عبارتهای با معنی با n جفت پرانتز با تعداد DWهای به طول برابر خواهد بود و این یعنی برابر است.
تاکنون حلّ سه مسأله منجر به اعداد کاتالان شده است، در ذیل توجّه شما را به دو نمونه ی دیگر جلب میکنیم:
الف) تعداد راههای مختلف پرانتزگذاری بین ۱+n نماد ریاضی عبارت است از .
به عنوان مثال اگر a و b و c و d چهار نماد ریاضی باشند، روشهای مختلف پرانتزگذاری بین آنها از این قرار است:
ب) یک ۲+n ضلعی محدّب در نظر بگیرید. با وصل کردن رأسها، میتوان این چند ضلعی را به مثلثهایی افراز کرد.
به عنوان مثال برای ۳=n داریم :
ـ با توجه به روند مقاله،آیا میتوانید تعداد راه های متفاوت افراز را حدس بزنید؟ بله درست حدس زدید، تعداد روش های متفاوت افراز عبارت است از .
اعداد کاتالان در مسأله های دیگری از
جمله شمارش درخت ها در نظریه گراف یا شمارش نوع خاصی از افراز های مجموعه
های متناهی نیز ظاهر می شوند .
انجمن ریاضیدانان جوان